TÉCNICAS: CÁLCULO MENTAL

Cada vez parecen más raras las personas que son capaces de hacer cálculos sin ayuda, cálculos para los que la mayor parte de la gente recurre precipitadamente a la calculadora y tiene una fe ciega en el resultado, incluso aunque éste sea un verdadero disparate.

La calculadora es una muy buena herramienta que muchas veces es necesaria pero eso no debería ser excusa para dejar de ejercitar radicalmente la mente desde que se nos permite su uso en la escuela en edades cada vez más tempranas. Sería como dejar de hacer ejercicio por el hecho de disponer del coche.

Si dejásemos de hacer ejercicio y de caminar por “comodidad” resultaría que el día que quisiéramos echar mano de nuestras piernas éstas no estarían preparadas para soportar nuestro peso. Eso mismo es lo que ocurre si dejamos de usar nuestra mente y nos acomodamos más de la cuenta. Los niños recurren a la calculadora para realizar una multiplicación simple o para hacer sencillas sumas, si se han equivocado al escribir los cálculos y el resultado es un disparate normalmente les pasa desapercibido.

Algunas personas recurren a los dedos para realizar sumas y restas. Pero está claro que este sistema no es precisamente el más rápido. Si nos acostumbramos a realizar operaciones sencillas sin utilizar la calculadora, observaremos cómo vamos progresando satisfactoriamente en otras más complicadas. Nuestra mente se volverá más ágil a la hora de resolver otros tipos de situaciones que necesitan de una respuesta rápida.

Conociendo unos sencillos trucos mejorará nuestra actitud frente a muchas operaciones matemáticas, incrementaremos nuestra agilidad mental y como no, sorprenderemos a los que nos rodean. No es necesario papel ni calculadora, sólo pensar. Las reglas de cálculo son muy sencillas, es una cuestión de práctica y concentración.

Desarrollo del cálculo mental

Es posible que te hayas encontrado en algún momento con esta situación: estás en el supermercado y quieres saber si llevas suficiente dinero para pagar la compra, pero no tienes una calculadora. No necesitas saber con exactitud cuánto llevas gastado, bastaría con una aproximación. Esta situación puede ser resuelta de forma rápida utilizando el cálculo mental. Es posible conseguir resultados rápidos y sorprendentes con estas sencillas indicaciones:

1. Utilizar las tablas de multiplicar y la forma en que se realizaban las sumas en nuestra primera etapa escolar.

2. Repasar dichas tablas unas cuantas veces hasta que se hayan recordado y realizar sumas desde las más sencillas a las más complicadas.

3. Adquirir unos mínimos conocimientos matemáticos, ya que a veces puede ser necesario descomponer números complicados en otros más sencillos que faciliten el cálculo.

4. Utilizar el sentido común en estas situaciones.

Las bases de la operación suma

Las reglas para realizar mentalmente una suma parecen complicadas. Pero si las lees detenidamente verás que muchas ya las conoces.

· Conmutatividad. Es más sencillo sumar el número mayor con el menor que el menor con el mayor (6 + 3 y no 3 + 6). Y debido a esta propiedad de la suma, el resultado es el mismo.

· Conteo ascendente. Es más fácil contar de dos en dos o de tres en tres. Prueba a contar las monedas que llevas de esta forma.

· Dieces. Para sumar 10 a un número de una cifra, añadimos un 1 a la izquierda de dicho número.

· Dobles. Al sumar dos cifras iguales, doblamos el número.

· Dobles más uno. 57 + 58 se suma más fácil doblando el 57 (114) y añadiéndole 1, operación que da 115.

· Número misterioso. Para sumar dos números casi consecutivos, como 7 y 9, doblamos el número intermedio. Es decir, 8 + 8 = 16.0

· Los nueves. Para sumar 9 a cualquier número, sumamos 10 y restamos uno.

· La familia del 10. Para sumar muchos números, es más sencillo comenzar emparejando los que sumen diez.

· Buscando el diez. En una suma, descomponemos uno de los números para poder llegar a diez con el otro sumando.

La tabla de multiplicar

Al igual que con la suma, sólo tendrás que recordar unas reglas que ya aprendiste cuando estudiabas en el colegio.

· Conmutar: si sabes cuánto es 7 · 8 sabrás cuánto es 8 · 7. Escoge la opción que te resulte más fácil.

· Doblar: multiplicar por dos es lo mismo que sumar el número dos veces.

· Añadir un cero: si tienes que multiplicar un número por diez, añádele un cero a su derecha ¡y ya está!

· Doble y mitad: si tenemos, por ejemplo, 25 · 14, es más fácil doblar el 25 y después dividir entre dos 14. Es decir, 50 · 7 = 350.

· Cero y mitad: si tienes que multiplicar un número por 5, simplemente multiplícalo por diez y divídelo entre dos.

· Descomposición: si los números son de varias cifras, es más rápido descomponer uno de ellos en sumas o restas de números más pequeños. Por ejemplo,

57 ·13 equivale a (57 · 10) + (57 · 3).

· Patrones: los resultados se memorizan porque son curiosos o chocantes.

Multipliquemos con los dedos de las manos

Todos alguna vez hemos contado con los dedos de las manos. Pero lo que no todos saben es que también se puede multiplicar de una forma rápida y segura con ellos. Si te resulta difícil multiplicar a partir de número 5, sólo tienes que seguir las indicaciones que aparecen a continuación.

Asignamos a cada dedo un valor: desde el 6 para el pulgar hasta el 10 para el meñique.Con los pulgares hacia arriba, juntamos los dedos que corresponden en cada mano a cada uno de los números que queremos multiplicar. Mentalmente, asignamos a los dedos unidos y a los que queden por encima de los unidos el valor 10, y los sumamos. Contamos el número de dedos que quedan por debajo de los dedos unidos, el número de dedos en la mano derecha y el número de dedos en la izquierda. Se multiplican estos números y se suma el resultado de esta multiplicación a la cifra obtenida anteriormente.Como posiblemente te habrás hecho un lío, pincha sobre el siguiente ejemplo para verlo mucho más claro.

Sumas rápidas o cálculo pensado aditivo

Para calcular sumas de forma rápida existen varios métodos:

· Redondeo: buscamos que uno de los números acabe en cero mediante sumas y restas.

Ejemplo: 57 + 38 = (57 + 3) + (38 - 3) = 60 + 35 = 95

· Conteo: sumamos progresivamente a uno de los números, de izquierda a derecha, el otro; es decir, lo último que sumaremos serán las unidades, antes sumaremos las decenas, antes las centenas...

Ejemplo: 283 + 435 = (283 + 400) + 35 = 683 + 35 = (683 + 30) + 5 = 713 + 5 = 718

· Recolocación: agrupamos los números cuyas unidades sumen diez. Es más fácil sumar números que acaban en cero.

Ejemplo: 57 + 86 + 53 + 34 = (57 + 53) + (86 + 34) = 110 + 120 = 230

· Descomposición: separamos los sumandos en otros fáciles de sumar, intentando que acaben en cero o que sumen diez.

Ejemplo: 77 + 148 = 70 + 7 + 140 + 8 = (70 + 140) + (5 + 3) + 7 = 210 + (3 + 7) + 5 = 225

Estas mismas reglas sirven también para la resta, ya que esta operación es la inversa de la suma.

Cálculo pensado multiplicativo

Para calcular el resultado de una multiplicación podemos recurrir a algunos métodos que nos ayuden a hacerlo más rápidamente:

· Imagina que coges un lápiz y un papel, y representa mentalmente la operación.

· Utiliza el Método de la distribución, que consiste en descomponer uno de los factores en una suma de otros más sencillos.

Ejemplo: 8 · 4.211 = 8 (4.000 + 200 + 10 + 1) = 32.000 + 1.600 + 80 + 8 = 33.688

· Utiliza el Método de factorización, que consiste en transformar cada factor en pequeños productos de números más sencillos.

Ejemplo: 25 · 48 = (5 · 5) · (6 · 8) = (5 · 8) · (5 · 6) = 40 · 30 = 1.200

Estos mismos trucos se pueden aplicar también a la división, ya que esta operación se puede expresar como una multiplicación.

Resultados aproximados

Cuando nos interesa más obtener un resultado de forma rápida que la exactitud del cálculo en sí mismo, podemos recurrir a dos técnicas que nos dan resultados aproximados. Eso sí, hay que tener en cuenta que conllevan un error que será mayor cuanto más nos alejemos de las cifras reales.

· Redondeo: consiste en sustituir cifras por ceros. Para entenderlo, vamos a calcular el sueldo anual de un trabajador que cobra 1.207,75 euros al mes. Si multiplicamos 1.200 euros por 12 meses, obtendremos el resultado aproximado de 14.400 euros anuales, aunque la cifra real que esta persona percibe es de 14.493 euros.

· Truncamiento: con esta operación eliminamos decimales, que siempre dificultan la operación del cálculo matemático. Supongamos que Iñaki utiliza la calculadora para saber lo que se gastarán él y su mujer Ainhoa en la compra doméstica. Ella lo va calculando mentalmente: tiene en cuenta que si los céntimos son inferiores a 50 suma los euros que marca el precio, y si los céntimos son 50 o más añade un euro al precio. Antes de pasar por caja, Ainhoa le dice a su marido que la compra les costará unos 55 euros ¡y sin calculadora! Iñaki mira el resultado en la pantalla y observa sorprendido que el resultado son 54,68 euros. Así por ejemplo, si han comprado dos productos de 48,56 y 6,12 euros respectivamente (54,68 euros en total), Ainhoa ha podido calcular de forma aproximada que van a costar un total de 55 euros (49 + 6).

Raíces cúbicas enteras

Empezaremos por esta operación por ser la más sencilla. Para poder llevarla a cabo deberemos conocer perfectamente los cubos de los números del 1 al 9. Esta tabla:

NúmeroCubo112832746451256216734385129729

Primero os daré algunos consejos para memorizar la tabla. He sombreado de amarillo las columnas en las que el número al cubo acaba con el mismo número que el que elevamos. Por ejemplo, 9 al cubo es 729, 729 termina en 9.

Fijaos que cada resultado termina por un número diferente.Los primeros 5 cubos son muy comunes y seguramente ya os sean familiares, el número 8 al cubo es 512, este también es muy común para mis compañeros de gremio, los informáticos. En caso de que estos 6 cubos ya os resulten familiares sólo tendríais que aprender 3 cubos, los del 6, 7 y 9, de estos 3 cubos hay 2 sombreados de amarillo. Bueno, que como veis es muy fácil hacerse con estos 9 cubos y más cuando os diga que esto os permitirá sacar 100 raíces cúbicas exactas.¡Vamos allá!Pedimos a alguien que eleve al cubo un número del 1 al 100 y nos diga el resultado, nosotros seremos capaces de desvelar al número que se ha elevado, la raíz cúbica.Suponemos que se ha elegido el número 54.543 = 157.464El resultado lo vamos a partir en 2 números, la parte del número anterior al punto de los miles y la posterior:Anterior: 157. Como ya conocemos perfectamente la tabla anterior, sabemos que 157 está entre 125 y 216, los cubos de 5 y 6, con esto ya sabemos que la decena es 5.Posterior: 464. Acaba en 4, igual que 4 al cubo (64), así que las unidades son 4.La raíz cúbica de 157.646 es 54Algunos ejemplos más para que quede claro del todo:Ejemplo 2: 571.787Anterior: 571. Esta entre 512 (83) y 729 (93), esto nos dice que la cifra de las decenas es 8.Posterior: 787. 33 termina en 7, unidades 3.Resultado: 83Ejemplo 3: 6.859Anterior: 6. Esta entre 1 (13) y 8 (23), decenas 1.Posterior: 859. Termina en 9, igual que 93, unidades 9.Resultado: 19CuadradosEsta técnica nos permitirá calcular los cuadrados del número 1 al 100. Este es un excelente ejercicio, hay que hacer unos cuantos pasos mentalmente y os aseguro que sorprende como aumenta la velocidad del cálculo a medida que se practica. Veamos en qué consiste.Estas cosas se entienden mejor con un buen ejemplo, así que vamos al grano:Vamos a elevar el número 97 al cuadrado.Es más sencillo hacer una multiplicación por 100 que por 97, así que vamos a seguir estos pasos:

PasoOperaciónExplicación: 1100 – 97 = 3. Calculamos la diferencia entre el número que calculamos y la decena más cercana , 3297 – 3 = 94. Nos alejamos 3 unidades de la decena más cercana, restamos el resultado anterior al número que elevamos al cuadrado .394 * 100 = 9400El resultado anterior lo multiplicamos por la decena más cercana.432 = 9Hacemos el cuadrado del resultado del paso 1.59400 + 9 = 9409Sumamos el resultado anterior al del paso 3.972 = 9409Otros ejemplosDe forma un poco más rápida calculamos 22222 – 20 = 2Esta vez hemos puesto en primer lugar el 22 en vez del 20 , no importa, no nos interesa el signo del resultado22 + 2 = 24Nos alejamos 2 unidades de la decena más cercana, sumamos 2 (antes tuvimos que restar para alejarnos).24 * 20 = 480Decena más cercana por resultado anterior480 + 22 = 484Resultado anterior más 22Ahora uno un poco más complicado: 76280 – 76 = 44 unidades para llegar a la decena más cercana76 – 4 = 72Nos alejamos 4 unidades.72 * 80 = 5760Resultado por decena más cercana.5760 + 42 = 5776Resultado más 42Explicación matemáticaPrimero desarrollamos un cuadrado normal y corriente con la archiconocida fórmula:ab = (10 · a) + b(ab)2 = (10a + b)2 = (10a + b) · (10a + b) = 100a2 +20ab + b2Hasta aquí estamos todos de acuerdo. Ahora vamos a ver qué pasa si en vez de hacer el cuadrado cojo ese número, le sumo c, le resto c, y multiplico esos 2 resultados. No me miréis así! Es lo que hemos hecho antes: 97 --> (97 + 3) , (97 – 3)(10a + b + c) * (10a + b – c) = (100a2 + 10ab – 10ac) + (10ab + b2 – bc) + (10ac +bc – c2) = (100a2 + 20ab – b2) – c2El resultado es el mismo que antes pero restando c2, así que si restamos c2 obtendremos el mismo resultado.Bueno, esta es la explicación matemática de porqué funciona lo que hemos hecho antes.Trucos y consejosA medida que practiquéis os daréis cuenta de algunos “truquillos”. Por ejemplo, las operaciones son más sencillas si nos acercamos a 100 o 50 porque la operación es muy sencilla, de esta forma podríamos aprovechar esto para ir más rápido en el cálculo, por ejemplo si queremos hacer 922 será más fácil si nos acercamos a 100 que a 90, vamos a verlo:100 – 92 = 88 unidades para llegar a 10092 – 8 = 84Nos alejamos 8 unidades.84 * 100 = 8400Resultado por 100 .8400 + 82 = 8464Resultado más 82Otro truco que nos permitirá ir más deprisa, es el cuadrado más 1 .¿Qué pasa si nos piden el cuadrado de 41? Rápidamente podríamos calcular el cuadrado de 40, que es 1600.412 = (402) + (40*2) + 1 = 1600 + 80 + 1 = 1681La fórmula conocida por todos es esta:(x + 1)2 = x2 + 2x + 1Debo decir que hay calculistas profesionales a los que este método no les resultará cómodo porque les es más fácil hacer la multiplicación directamente de cabeza sin hacer estos pasos intermedios y prefieren utilizar siempre el mismo método y no perder tiempo en buscar estos atajos que van tan bien para la mayoría de mortales.Raíces CuadradasVamos a calcular raíces cuadradas para números del 1 al 1000. Para hacer satisfactoriamente esta operación debemos conocer perfectamente los cuadrados del 1 al 31.

Voy a apuntarlos.11121214413196112144224841316923529141962457615225256251625626676172892772918324287841936129841Los cuadrados hasta el 16 son muy típicos y es probable que ya los sepáis de memoria, también son muy típicos y fáciles los que acaban en 0 o en 5.Este método nos dará un resultado aproximado, cuando más alto sea el número más cercano será nuestro resultado al real, también dependerá de nuestra agilidad en el cálculo y de nuestra pericia.Veamos en qué consiste el método:Vamos con dos ejemplos que así es como se aprende:Queremos calcular la raíz cuadrada de 110.PasoCálculoExplicación1Raíz entera ( 110 ) = 10Al conocer perfectamente los cuadrados del 1 al 31 no nos costará identificar el entero.2110 – 102 = 10A 110 le restamos 1023( 10 / 10 ) / 2 = 0,5El resultado anterior lo dividimos por el entero del paso 1 y el resultado lo dividimos entre 2.410 + 0,5 = 10,5El resultado anterior más el entero nos da el resultado definitivo.El primer ejemplo es fácil de calcular pero tanto 10 puede confundir, vamos con otro y se acabará de entender:Raíz cuadrada de 430PasoCálculoExplicación1Raíz entera ( 430 ) = 20Esta vez el entero es 20 .2430 – 202 = 430 – 400 = 30A 430 le restamos 2023( 30 / 20 ) / 2 = 1,5 / 2 = 0,75El resultado anterior lo dividimos por el entero del paso 1 y el resultado lo dividimos entre 2.420 + 0,75 = 20,75El resultado anterior más el entero nos da el resultado definitivo.Este método se tiene mucho que ver con la fórmula que hemos visto antes:(x + 1)2 = x2 + 2x + 1La siguiente gráfica nos muestra la diferencia que hay entre los resultados obtenidos y los reales, tal y como he dicho antes, se observa que la diferencia va disminuyendo a medida que los números crecen.Al principio la diferencia es brutal, la raíz cuadrada de 2 sale 1,5 y la de 3 no sabríamos muy bien como hacerla. Más adelante explicaré algunos trucos para que el resultado obtenido se aproxime más al real.De momento vamos a ver otro ejemplo en el que los resultados no son tan favorables y nos invitan a modificar algún paso:Raíz cuadrada de 319PasoCálculoExplicación1Raíz entera ( 319 ) = 17Vemos que 319 es muy cercano a 182 = 3242182 – 319 = 324 – 319 = 5Esta vez prefiero acercarme al número ( 319 ) por encima (324).3( 5 / 18 ) / 2 = 0,27 / 2 = 0,13El resultado anterior lo dividimos por 18, ya que me acerqué esta vez por el cuadrado de 18 y el resultado lo dividimos entre 2.418 – 0,13 = 17,87El resultado anterior lo resto de 18 y obtenemos el resultado definitivo.Por José María Bea González: http://www.josemariabea.com/